三角函數精選(九篇)

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第1篇：三角函數范文

三角函數應用題既能考查解三角形的知識與方法，又能考查運用三角公式進行恒等變形的技能，因而備受命題者的青睞，常常以解答題的形式出現，難度中等.

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解三角函數應用問題有下列幾個基本步驟：第一步，閱讀理解，審清題意；第二步，搜集、整理數據，通常是引入角作為參變量，建立數學模型；第三步，利用所學三角函數知識對得到的三角函數模型予以解答，求出結果；第四步，將所得結論轉譯成實際問題的答案.

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■ 如圖1，某市擬在長為8千米的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈[0，4]）的圖象，且圖象的最高點為S（3，2■）；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP=120°.

（1）求A，ω的值和M，P兩點間的距離；

（2）應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？

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圖1

破解思路 （1）由圖即可得到A及周期，利用三角函數的周期公式求出ω，將M的橫坐標代入求出M的坐標，利用兩點距離公式求出MP.（2）思路一：利用三角形的正弦定理求出NP， MN，求出折線段賽道MNP的長，化簡三角函數，利用三角函數的有界性求出最大值；思路二：利用余弦定理求出MN，NP的數量關系式，然后運用基本不等式求出最大值.

經典答案 （1）依題意，有A=2■，■=3，又T=■，所以ω=■. 所以y=2■sin■x，當x=4時，y=2■sin■=3，所以M（4，3）. 又因為P（8，0），所以MP=■=5.

（2）法1：由已知，在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，設∠PMN=θ，則0°

法2：由已知，在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MN2+NP2-2MN?NPcos∠MNP=MP2，即MN2+NP2+MN?NP=25，故（MN+NP）2-25=MN?NP≤■■，從而■（MN+NP）2≤25，即MN+NP≤■，當且僅當MN=NP時，折線段賽道MNP最長.

■ 某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖2所示，垂直放置的標桿BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）該小組已經測得一組α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H的值；

（2）該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度. 若電視塔的實際高度為125 m，試問d為多少時，α-β最大.

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圖2

破解思路 解決本題的關鍵是尋找等量關系. 第（1）問是利用直角三角形的三角函數及線段關系AD-BD=AB，轉化為已知角和h，H的等式，然后求解. 第（2）問關鍵是利用兩角差的正切公式建立tan（α-β）關于d的函數模型，再利用平均值定理及正切函數的單調性求最值，最后得出d的值.

經典答案 （1）■=tanβ？圯AD=■，同理：AB=■，BD=■. 由AD-AB=DB得■-■=■，解得H=■=■=124. 因此，算出的電視塔的高度H是124 m.

（2）由題設可知d=AB，得tanα=■，tanβ=■=■=■，所以tan（α-β）=■=■=■=■. 又d+■≥2■（當且僅當d=■=■=55■時，取等號），故當d=55■時，tan（α-β）最大. 因為0

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如圖3，開發商欲對邊長為1 km的正方形ABCD地段進行市場開發，擬在該地段的一角建設一個景觀，需要建一條道路EF（點E，F分別在BC，CD上），根據規劃要求ECF的周長為2 km.

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圖3

第2篇：三角函數范文

考點一、任意角和弧度制及任意角的三角函數【考點解讀】 三角函數的概念在高考中單獨命題較少，但幾乎所有三角函數試題都離不開這部分內容，同時該內容也是研究三角函數的性質，解決三角問題的基礎.理解任意角、終邊相同的角及弧度制等概念，能夠根據條件利用三角函數的定義求某些三角函數.在解三角不等式時，數形結合利用單位圓及三角函數線是一個小技巧.

例1已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長l及該弧所在的弓形面積.

（2）若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？

（3）若將該扇形的圓心放在坐標原點，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點P的坐標為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ

【思路點撥】 （1）可直接使用弧長公式計算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長或半徑來表達出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數的定義求解，注意對y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由題意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

當且僅當R=5時，S有最大值25（cm）2.

此時l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

當α=2rad時，扇形面積取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以當y=5時，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

當y=-5時，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【歸納總結】 扇形的面積與弧長的計算在幾何中應用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數，運用函數思想、轉化思想，解決扇形中的有關最值問題.利用定義法求三角函數值需要已知或設角α終邊上一異于原點的點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需角.

【變式訓練1】

（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助計算器的情況下，證明：sin20°

考點二、三角函數的同角公式及誘導公式

【考點解讀】 求值題主要考查同角三角函數的基本關系式、誘導公式的應用，利用三角公式進行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導公式可統一記為“奇變偶不變，符號看象限”.利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角三角函數為銳角三角函數，其原則：負化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.

例2（1）設θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯想平方關系式，解題突破口就是求解關于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個三角函數值，解決本題的關鍵是由兩個等式，消去α或β得出關于β或α的同名三角函數值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假設存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由誘導公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.

【歸納總結】 （1）對于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求.轉化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關于tanθ的式子.已知角α的三角函數值求角α的一般步驟是：①由三角函數值的符號確定角α所在的象限；②據角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達式.

【變式訓練2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考點三、三角函數的圖象和性質

【考點解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數的性質（如周期性、單調性、奇偶性、最大值和最小值、對稱中心和對稱軸等），函數的單調性是相對于某一區間而言的，研究其單調性必須在定義域內進行.

例3（1）求函數y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調區間；

（3）求函數y=3cosx-3sinx的值域.

【思路點撥】 （1）求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式（組），常借助三角函數線或三角函數圖象來求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調區間.（3）先將原函數式進行等價變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.

【解析】 （1）要使函數有意義，則

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如圖利用單位圓得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函數的定義域為：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期為4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞減.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，該函數值域為[-23，23].

【歸納總結】 （1）求三角函數的定義域，既要注意一般函數定義域的規律，又要注意三角函數的特性，如題中出現tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數的定義域通常使用三角函數線、三角函數圖象和數軸.（2）對于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數），其周期T=π1|ω|，單調區間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調區間.（3）將原函數式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關于sinx（或cosx）的二次函數式，切忌忽視函數的定義域.

【變式訓練3】

已知函數f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函數f（x）單調遞增區間.

考點四、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數模型的簡單應用【考點解讀】 該考點是高考的必考點.理解函數y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對函數圖象變化的影響.能根據所給三角函數的圖象和性質確定其中的參數，并能由一個三角函數的圖象通過平移變換、伸縮變換、振幅變換和對稱變換得到另一個三角函數的圖象.利用三角函數的解析式可研究三角函數的性質和圖象.會用三角函數解決一些簡單實際的問題.

例4已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數列？若存在，請確定x0的個數；若不存在，說明理由.

【思路點撥】 （1）根據題目給出的周期和對稱中心求得函數f（x）的解析式，利用函數圖象的平移和伸縮的變換規律逐步得到g（x）；（2）將等差數列問題轉化為方程在指定區間內是否有解的問題，再構造函數，利用函數的單調性確定零點的個數.

【解析】 （1）由函數f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，

又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個單位長度后得到函數g（x）=sinx.

（2）當x∈（π16，π14）時，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內是否有解.

設G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因為x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內單調遞增，

又G（π16）=-1140，

且函數G（x）的圖象連續不斷，故可知函數G（x）在（π16，π14）內存在唯一零點x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.

【歸納總結】 探討三角函數的性質，難點在于三角函數解析式的化簡與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關公式，靈活運用角之間的關系對角進行變換，將解析式轉化為一角一函數的形式，然后通過換元法求解有關性質即可.根據y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問題，主要從A、k、ω及φ等四個方面來考慮.

【變式訓練4】

（1）函數y=2sin（ωx+φ）在一個周期內的圖象如圖所示，則此函數的解析式可能是.

（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學在RtACH中解得AC=11cos72°，據此可得cos72°的值所在區間為.

考點五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡單的三角恒等變換【考點解讀】 該考點是高考的必考點.研究不同三角函數值之間的關系時，常以角為切入點，并以此為依據進行公式的選擇，同時還要關注式子的結構特征，通過對式子進行恒等變形，使問題得到簡化.在進行三角運算時必知的幾個技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結構等化簡技巧.

例5已知函數f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路點撥】 （1）直接代入，根據誘導公式和特殊角的三角函數值得出結果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因為cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【歸納總結】 三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數.

【變式訓練5】

31cos10°-11sin170°=.

【變式訓練答案】

1.解析：（1）設α終邊上任一點為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

當k>0時，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

當k

第3篇：三角函數范文

浙江省數學特級教師，嘉興市數學會副會長.

推薦名言

一切自然科學，都是研究函數.

――H. H. 魯金 （蘇聯數學家，現代實變函數論的開創者之一）

三角函數內容豐富，主要包括定義，圖象與性質（單調性、奇偶性、周期性、對稱性），三角恒等變換，正余弦定理等．自主招生考試對三角函數的考查要求相對較高，除了高考要求的基本知識點與公式之外，還會考查一些拓展公式和結論. 現列舉如下：

萬能公式：sinα=■，cosα=■，tanα=■.

和差化積公式：sinα+sinβ=2sin■cos■，sinα-sinβ=2cos■?sin■，cosα+cosβ=2cos■cos■，cosα-cosβ=-2sin■sin■.

積化和差公式：sinαcosβ=■［sin（α+β）+sin（α-β）］，cosαsinβ=■［sin（α+β）-sin（α-β）］，sinαsinβ=-■［cos（α+β）-cos（α-β）］，cosαcosβ=■［cos（α+β）+cos（α-β）］．

三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3α，cos3α=4cos3α-3cosα，sin■-αsinαsin■+α＝■sin3α，cos■-αcosαcos■+α＝■cos3α，tan■-αtanαtan■+α＝tan3α．

兩個有用的三角不等式：若α是銳角，則sinα+cosα>1，sinα

三角形中的一些基本恒等式：在ABC中，cos（B+C）＝-cosA；若ABC不是直角三角形，則tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC．

在自主招生考試中，三角函數問題主要有三類：研究三角函數的圖象與性質、三角恒等變換、三角形中的三角函數問題．

一、 研究三角函數的圖象與性質

例1 （2007年上海交通大學自主招生考試第12題） 設函數f（x）＝sinx+cosx，試討論f（x）的性質（有界性、奇偶性、單調性和周期性），求出其極值，并作出其在［0，2π］內的圖象．

解析：三角函數的重要特點之一是周期性. 一般而言，在討論三角函數的性質時，我們常常先把含有正弦、余弦等不同三角函數的式子轉化為關于一個角的一種三角函數式，求出函數的周期．只要討論該函數在一個周期內的性質，就能判斷函數在整個定義域上的性質． 但例1中的函數解析式比較簡單，我們可以先求出函數的周期，再對函數解析式進行轉化．

由f（-x）=f（x）得：f（x）是偶函數，其圖象關于y軸對稱.又由f■-x=f（x）可知，函數圖象關于x=■對稱. 我們還發現， f■+x=f（x）， f（x）的最小正周期為T＝■．由此，我們可以討論函數f（x）=sinx+cosx在一個周期0，■內的單調性和最值，再推出一般性結論．

當x∈0，■時， f（x）=sinx+cosx=■sinx+■. 當x∈0，■時， f（x）單調遞增；當x∈■，■時， f（x）單調遞減. 對 f（x）=sinx+cosx而言，當x∈■，■+■（k∈Z）時，函數f（x）單調遞增；當x∈■+■，■+■（k∈Z）時， f（x）單調遞減．當x=■（k∈Z）時， f（x）min=1；當x=■+■（k∈Z）時，f（x）max=■． 函數f（x）在［0，2π］內的圖象如圖1所示．

當然，在解答例1時，我們也可以先畫出函數圖象，再根據圖象討論函數性質――這也是解決三角函數問題的一種有效方法．

二、 三角恒等變換

例2 （2010年清華大學自主招生考試第1題） 求sin410°+sin450°+sin470°的值．

解析：解答例2時，不僅要熟練掌握三角函數的相關公式，還要熟悉三角函數恒等變換的處理方法，如降冪、和差化積、積化和差等．我們先用降冪公式把所求解析式中的四次方轉化為二次方，再進行化簡：sin410°+sin450°+sin470°＝■2+■2+ ■2=■［3-2（cos20°+cos100°+cos140°）+（cos220°+cos2100°+cos2140°）］．

其中， cos20°+cos100°+cos140°＝2cos■cos■+cos140°=2cos60°cos（-40°）-cos40°＝cos（-40°）-cos40°＝0；

cos220°+cos2100°+cos2140°＝■+■+

■＝■［3+（cos40°+cos200°+cos280°）］．

又cos40°+cos200°+cos280°＝2cos■cos■+cos280°=2cos120°cos（-80°）+cos280°＝-cos（-80°）+cos（-80°）＝0， cos220°+cos2100°+cos2140°=■.

sin410°+sin450°+sin470°=■［3-2×0+■］＝■.

例2的結論可以推廣成：sin4α+sin4α+■+sin4α+■＝■． 利用例2的求證方法，我們還可以證得sinα+sinα+■+sinα+■＝0， sin2α+sin2α+■+sin2α+■＝■． 有興趣的同學可以一試

三、 三角形中的三角函數問題

例3 （2011年“華約”自主招生考試第11題） A，B，C為ABC的內角，且ABC不是直角三角形．

1） 求證：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC ；

（2） 若■tanC－1＝■，且sin2A，sin2B，sin2C的倒數成等差數列，求cos■的值．

解析：要解決例3，既要熟悉三角恒等變換的處理方法，又要充分利用三角形內角和為180°這一條件．

（1） A+B+C=π， tan（A+B）＝tan（π-C）=-tanC （①）． 又tan（A+B）=■，代入①式可得tanA＋tanB＋tanC＝tanA?tanB?tanC．

（2） 將（1）的結論代入■tanC－1＝■，得（■tanC－1）tanA＝tanA?tanB?tanC-tanA，解得tanB＝■. B∈（0，π）， B＝■．又■+■=■， 即■=■=■＝■，將A+C＝■代入，得：3cos（A-C）＝1+2cos（2A-2C）＝cos2（A-C）-1，解得cos（A-C）＝1或cos（A-C）＝

-■. A+C＝■π， ■∈-■，■，cos■∈■，1.由半角公式求得 cos■=1或cos■= ■．

例4 （2011年“北約”自主招生考試第4題） ABC的三邊滿足a+b≥2c，求證：C≤60°．

解析：正余弦定理是解決三角形邊角關系問題的媒介. 運用正余弦定理時，一般有兩種方法：一是把邊的關系轉化為角的關系，使之成為三角函數問題；二是把角的關系轉化為邊的關系，使之成為代數問題．

解法一（化邊為角）：由a+b≥2c及正弦定理得：sinA+sinB≥2sinC，和差化積得2sin■?cos■=2cos■cos■≥2sinC=2?2sin■?cos■. C∈（0，π）， cos■>0， cos■≥2sin■，而cos■≤1， sin■≤■.由0＜■＜■可得C≤60°．

解法二（化角為邊）：由a+b≥2c及余弦定理，可得cosC=■≥■=■-■≥■-■＝■. C∈（0，π）， C≤60°．

KEY to Killing One Owl Species to Save Another:

They mean shooting the barred owls.

KEY to It’s Your Choice That Makes It:

（1） C

（2） Because he/she wants to make his/her argument more persuasive.

看到這里，相信同學們對自主招生考試中三角函數知識的考查方式大致有數了． 其實三角函數題的難度并不大，但它涉及了大量的公式，需要同學們熟練掌握、靈活轉化．正所謂“熟能生巧”，同學們在平時還需要適當的練習．

第4篇：三角函數范文

三角測量在我國出現得很早.據《史記?夏本記》記載，早在公元前2000年，大禹就利用三角形的邊角關系，來進行對山川地勢的測量.《周髀算經》講得更詳細.后來《九章算術》勾股章，專列了八個測量問題，詳細介紹了利用直角三角形的相似原理，進行測量的方法.后來的《海島算經》等都是進行三角測量的記載史料.可見我國對三角學研究開始得很早.

在三角學的基本函數中，最早開始獨立研究的是正弦函數.正弦概念的形成是從造弦表開始的.公元前2世紀古希臘天文學家希帕克為了天文觀察的需要，著手造表工作.這些成果是從托勒密的遺著《天文集》中得到的.托勒密第一個采用了巴比倫人的60進位制，把圓周分為360等份，但他并沒給出“度”“分”“秒”的名詞，而是用“第一小分”“第二小分”等字樣進行描述.在1570年曲卡拉木起用了“°”的符號來表示“度”，以及“分”“秒”等名稱．書中又給出了“托勒密定理”來推算弦、弧及圓心角的關系及公式.

第一張正弦表由印度的數學家阿耶波多（約476－550年）造出來的.雖然他直接接觸了正弦，但他并沒有給出名稱.他稱連接圓弧兩端的直線為“弓弦”，后來印度著作被譯成阿拉伯文.12世紀，當阿拉伯文被譯成拉丁文時，這個字被譯成sinus，這就是“正弦”這一術語的來歷.1631年鄧玉函與湯若望等人編《大測》一書，將sinus譯成“正半弦”，簡稱為正弦，這是我國“正弦”這一術語的由來.

早期人們把與已知角α相加成90°角的正弦，叫做α　的附加正弦，它的拉丁文簡寫為sinusco或cosinus，后來便縮寫成cos.

第5篇：三角函數范文

【授課年級】高一年級

【教學目標】

知識目標：使學生在理解任意角三角函數定義和銳角三角函數的基本關系式的基礎上，能夠類推――發現――猜想――推導同角三角函數的基本關系式，并能夠靈活運用同角三角函數的基本關系式解決三角函數中已知一個角的某一三角函數值求其余三角函數值的問題。

能力目標：啟發學生主動參與，培養學生類推、發現、歸納、猜想、推導、整理的能力

情感目標：讓學生獲得發現的成就感，培養學生勇于探索、善于研究的求知精神及嚴謹的科學態度。

【教學重點】同角三角函數的基本關系式的理解與在同角三角函數的基本關系式求值問題中的靈活應用

【教學難點】同角三角函數的基本關系式在求值問題中的靈活應用

【教學方法】引導發現法

【教具準備】三角板

【課堂構思】課堂結構分為三部分，其一，創設情景，以實例引出已知一個角的某一個三角函數值，求其余五個三角函數值的問題，發現這六個三角函數值之間具有某種關系，激發學生興趣；其二、引導學生通過觀察任意角三角函數的定義，尋找同角三角函數之間的關系式，這是主體部分；其三，實際應用。

【教學過程】

I.引入新課

（1）引例：已知α為銳角且sinα= 4-5 ，求cosα，tanα，

（2）學生活動：學生回憶所學方法探求。

（3）預期成果：學生構造直角三角形用定義求出。

（4）問題1：請學生觀察它們之間的關系。

（5）預期答案：

（6）問題2：判斷上述關系是否對任意銳角成立

（7）預期答案：利用勾股定理證明

（8）復習任意角的三角函數的定義

II.講授新課

（1）學生類推探求公式：等

（2）學生類比證明公式：等

（3）師生共同歸納整理所求公式：平方關系、倒數關系、商數關系

（4）教師指出所用公式的注意事項：同角的含義、角的范圍、公式的變形

①注意“同角”，至于角的形式無關重要，如sin24α+cos24α=1等；

②注意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的，如沒有意義

③對這些關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），如：，等

（5）同角三角函數的基本關系式的簡單應用

例1：（1）已知sinα= 12-13，并且α是第二象限角，求cosα，tanα，cotα.

（2）已知cosα=- 4-5，求sinα，tanα，cotα.

分析：

問題（3）：例1中兩問有沒有區別？

預期答案：第（1）問中的角α給出了范圍，而第（2）問沒有。

問題（4）：這些問題與α的范圍有無關系？若有，在什么時候用到這個關系？怎么處理這個問題？

預期答案：有，在用平方關系時開方用到，要分類討論。

III 課堂練習

教材P29 1（1），（2）

IV 課堂小結

四個公式（）

一種題型（運用同角三角函數的基本關系式解決三角函數中已知一個角的某一三角函數值求其余三角函數值的問題）

V 課后作業

教材習題4.4 1（1），（2），（3），

Ⅵ 板書設計

同角三角函數的基本關系式

同角三角函數基本關系式

注意： 例1 學生板演

【教學后記】

在本節學習中，課堂上學生整體配合很好，課后作業學生完成較好，但在課堂教學中反映出了三個問題：

（1）學生探索發現的公式很多超出了要求，如：

第6篇：三角函數范文

一、抓住關鍵，使教學精煉、簡約而高效

由于初中的銳角三角函數定義不能推廣到任意角的情形，從而引發學生認知沖突，激發學生進一步探究的欲望。用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續研究的自然問題。之前,在任意角內容的學習中,學生已經有了在直角坐標系內討論角的經驗，但教學實踐表明,學生仍不能自然想到引入坐標系工具,利用坐標來定義任意角三角函數。筆者認為，從幫助學生理解定義的實質，體會坐標思想與數形結合思想的角度，教師可利用適當的語言,引導學生重點解決“如何用坐標表示銳角三角函數”的關鍵問題。需要提及的是,陶老師的問題設計具有啟示性：

現在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問題提得“大氣”，既能使學生的學習圍繞關鍵問題展開，又突出正弦函數的概念分析。當然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學更符合學生“最近發展區”，提高效率。

這里，需要引導學生從函數的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數，有助于從函數的本質特征來認識三角函數。

在第三個環節中，首先是如何自然引入單位圓的問題。

用單位圓上點的坐標定義三角函數有許多優點，其中最主要的是使正弦函數、余弦函數從自變量（角的弧度數）到函數值（單位圓上點的橫、縱坐標）之間的對應關系更清楚、簡單，突出了三角函數的本質，有利于學生利用已有的函數概念來理解三角函數，其次是使三角函數反映的數形關系更直接，為后面討論函數的性質奠定了基礎。

但單位圓的這些“優點”要在引入單位圓后才能逐步體會到。因此，引入單位圓的“理由”應該另辟蹊徑，白老師在引導學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數之后，從求簡的角度設置問題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

在學生得出x2+y2=1時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導學生利用單位圓定義銳角三角函數。至此，學生就有了第四環節中用單位圓定義任意角三角函數的認知準備。

由于“定義”是一種“規定”，因此，第四環節中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數情形，直接給出任意角三角函數定義，對學生而言，關鍵是理解這樣“規定”的合理性，對定義合理性認知基礎就是三角函數的“函數”本質――定義要符合一般函數的內涵（函數三要素）。

二、精心設計問題，讓課堂成為學生思維閃光的舞臺

基于上述認識，對定義部分的教學，給出如下先行組織者和主干問題設計。

先行組織者1：周期現象是社會生活和科學實踐中的基本現象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數”正是刻畫這些變化的基本函數模型。

三角函數到底是一種怎樣的函數？它具有哪些特別的性質？在解決具有周期性變化規律的問題中到底能發揮哪些作用？本課從研究第一個問題入手。

意圖：明確研究方向與內容。

問題1：在初中，我們已經學習了銳角三角函數，它是怎樣定義的？

意圖：從學生已有的數學經驗出發，為用坐標定義三角函數作準備。

問題2：現在，角的概念已經推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？

意圖：引發學生的認知沖突，激發學生求知欲望。

問題3：如何定義任意角的三角函數？

意圖：引導學生探索任意角三角函數的定義。

先行組織者2：我們知道，直角坐標系是展示函數規律的載體，是構架“數形結合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內進行研究，借助坐標系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現出角的終邊位置“周而復始”的現象。坐標系也為我們從“數”的角度定義任意角三角函數提供有效載體。

意圖：引導學生借助坐標系來定義任意角三角函數。

問題4：各個比值與角之間有怎樣的關系？比值是角的函數嗎？

意圖：扣準函數概念的內涵，把三角函數知識納入函數知識結構，突出變量之間的依賴關系或對應關系，增強函數觀念。

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結論：三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數值的函數。

問題5：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應關系變得更簡單一點？

意圖：為引入單位圓進行鋪墊。

教師給出單位圓定義之后，可引導學生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標（或比值）為函數值的函數。

問題6：類比上述做法，設任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數為y=sinα，余弦函數為y=cosα，正切函數為=tanαyx=tanα。你認為這樣定義符合函數定義要求嗎?

第7篇：三角函數范文

例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值

策略：要求1-sin2αcos2α的值，條件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要從這一條件出發，將α的某一三角函數值求出，即可獲解。

解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26

cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)

1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26

2.給角求值要求熟練掌握兩角和與差的三角函數的基本公式、二倍角公式，特別要注意逆向使用和差角公式與二倍角公式，以此將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數。

例1

求值：sec50°+tan10°

解析：sec50°+tan10°

=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°

=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°

=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°

=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3

總結評述：本題的解題思路是：變角切割化弦化異角為同角轉化為特殊角約去非特殊角的三角函數。

解此類問題的方法是，轉化為特殊角，同時能消去非特殊角的三角函數。

3.給值求角

給出三角函數值求角的關鍵有二：

（1）求出要求角的某一三角函數值（通常以正弦或余弦為目標函數）。

（2）確定所求角在（已求該角的函數值）相應函數的哪一個單調區間上（注意已知條件和中間所求函數值的正負符號）。

例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。

解析：由已知不難求出tanα與tan2β的值，這就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，關鍵是準確判斷α+2β的范圍。

cosα=－750且α∈（0，π）

sinα=150,tanα=－17

又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34

tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα

=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)

β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)

2β∈（π,2π），tan2β=－34<0

3π2<2β<2π

α+2β∈（2π，3π）.

而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4

第8篇：三角函數范文

關健詞：三角函數、給角求值、給值求角、比較大小、解三角形.

數學的考題題型：三角或數列有一道大題，概率統計、立體幾何、解析幾何、函數導數不等式，還有三選一（幾何證明選講，極坐標與參數方程，不等式）。本部分內容在高考中所占分數大約12%，主要考查三角函數的基本公式，三角恒等變形及解三角形等基本知識，近幾年高考題目中每年有1～2個小題，一個大題，，解答題以中低檔題為主，很多情況下與平面向量綜合考察，有時也與不等式、函數最值結合在一起，但難度不大，今后有關三角函數的問題仍將以選擇題、填空題和解答題三種題型出現，控制在中等偏易程度；如果有解答題出現，一般放在前兩題位置。

解三角形的考題有客觀題也有解答題，通過三角形中的邊長與角度之間的數量關系，來解決一些與測量和幾何計算等有關的實際問題，考查考生對數學與現實世界和實際生活的聯系的認識，培養和發展考生的數學應用意識。應注意三角函數的解題技巧。

一、“已知三角函數值求角”問題

通過先求角的某個三角函數值來求角，再選取函數時，遵照以下原則：

（1） 已知正切函數值，選正切函數；

（2） 已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數，若角的范圍是 ，選正、余弦皆可；若角的范圍是 ，選余弦較好；若角的范圍為 ，選正弦較好。

解值求角問題的一般步驟為：

1、求角的某一個三角函數值；

2、確定角的范圍；

3、根據角的范圍寫出所求的角。

在學習過程中學生們通常存在這么幾個困惑：1、給出一個三角函數值可能對應著多個或無數個角，不知道該先求哪個角。2、不能準確的寫出已知要求的那個范圍的角。3、最后寫出的角的形式怎樣。下面以四個例題說明：

例1、已知 且 ，求 的取值集合.

解：令 （ 為銳角），則 ，又 且 ，且 ，

所以滿足條件的角在 內，所以 ，所以 的取值集合為 .

例2、已知 且 ，求 的取值集合.

解：令 （ 為銳角），則 ，又 且 ，且 ，

所以滿足條件的角在 ， 內，所以 或 ，

所以 的取值集合為 .

例3、已知 ，求 的取值集合.

解：由上面例1和例2可得答案為： 或

或者答案也可以為： 或

這類問題在處理時，不管已知的三角函數值是正數還是負數，我們都可以暫時把它看作正數，目的是為了找到看作正數后相對應的那個銳角 ，然后我們可以利用： 或 或 或 處理一下，就求出了相對應的區間： ； ； ； 內符合題意的角了.如果滿足條件的角可以有無數個，那么我們把剛才求出來的角“+” 就可以了.

例4、已知 且 ， ，求 的值；

解 ，所以 ， ， ，

解決此類問題注意角的變形：

二、“利用三角函數的單調性比較大小”問題

在教學中通常要求學生把三角函數化成同名三角函數且自變量落在同一個單調區間內即可，但是學生在實際操作過程中容易混淆單調區間，不如我們把此類問題中的自變量利用誘導公式負角化為正角，大角化小角，正角統一都化為銳角，這樣就更簡潔、明朗了，因為正弦、余弦、正切函數在區間 內的單調性依次為：單調遞增、單調遞減、單調遞增，學生是非常熟悉的.

例5、比較 與 的大小.

解：

因為 在 內單調遞增，且 ，所以 ，

所以 ，即

三、“利用正、余弦定理解三角形”問題

在 中，設角 、 、 的對邊長分別為： 、 、

正弦定理： （ 為 的外接圓半徑）

余弦定理： ； ；

定理的內容以及變形學生們一般都能記住，但是遇到具體問題時到底該用哪個定理？有的學生就拿不準了.下面我們來探討這個問題，首先我們要清楚解三角形問題中三角形的三個角和三條邊六個元素至少得已知三個，而且這三個已知的元素中至少得有一條邊，這樣我們才可以解這個三角形.

那么我們就可以以已知條件中邊的條件將此類問題進行分類：1、已知“一邊兩角”（實際上第三個角也知道了），用正弦定理（因為這條邊肯定是已知角的對邊）.2、已知“兩邊一對角”，用正弦定理；已知“兩邊一夾角”，用余弦定理.3、已知“三邊”，用余弦定理.當然，有時在一道題目中正、余弦定理都可以用，我們選擇其一就可以了.

另外，如果已知條件允許的話，我們盡量去求三角形內角的余弦值，這是因為在三角形中余弦值可以把銳角、直角、鈍角分的清清楚楚，余弦值為正，角為銳角；余弦值為負，角為鈍角；余弦值為0，角為直角.而正弦值分不清銳角和鈍角.

最后別忘了三角形中“內角和等于 ”；“大邊對大角，大角對大邊”；“兩邊之和大于第三邊”；“三角形面積公式”；“射影定理”；“已知兩邊一對角時，可能兩解、一解、無解”等.

用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型，測量距離問題、高度問題、角度問題（仰角和俯角，方位角）、計算面積問題、航海問題、物理問題等。下面我們來看一些例題：

例6、在 中，已知 求 （保留兩個有效數字）.

分析：已知形式為：“一邊兩角”，所以用正弦定理

解：

.

例7、在 中，已知 求 （精確到 ）和 （保留兩個有效數字）.

分析：已知形式為：“兩邊一對角”，所以用正弦定理，而且可能兩解、一解、無解

解： .（ ）

當 時， ，

.

當 時， ，

.

例8、在 中，已知 解這個三角形（邊長保留四個有效數字，角度精確到 ）.

分析：已知形式為：“兩邊一夾角”，所以用余弦定理

解：由 ，得 .

， .

例9、在 中，已知 求 、 、 （精確到 ）.

分析：已知形式為：“三邊”，所以用余弦定理

解： .

.

例10：已知 分別為 三個內角A，B，C的對邊，

，

（1） 求A；

（2） 若 ， 的面積為 ，求 。

解：（1）由 及正弦定理得

，因為 所以

。由于 ，所以 ，

又 故 。

（2） 的面積 故 ，而 ，

第9篇：三角函數范文

關鍵詞： 中學數學 三角函數問題 數學思想

一、數形結合思想

數形結合思想即運用數與形的關系來解決數學問題.可以借助數的精確性來說明形的某些屬性；也可借助形的直觀性來闡明數之間的某種關系.體現在三角函數中是利用單位圓中的三角函數線、三角函數圖像求三角函數定義域、解三角不等式、求單調區間、討論方程實根的個數、比較大小等.

例1.比較sin，cos，tan的大小.

解析：這些角都不是特殊角，求出值來再比較行不通，但如果我們注意到，，相差較大，容易利用單位圓上的三角函數線區分比較它們各自函數值的大小.

如圖所示，

設a=sin，b=cos，c=tan，

可知，b＜0＜a＜c，

因此，cos＜sin＜tan.

二、分類討論思想

分類討論是一種重要解題策略，“分類”，相當于縮小討論范圍，故能使復雜問題簡單化，從而將問題化整為零，各個擊破.體現在三角函數值受角所在象限的影響，在不同的象限有不同的三角函數值，因此就應根據求值或求角的需要對角的范圍或參數的范圍展開有序的討論.

例2.化簡：cosπ+α+cosπ-α，（n∈Z）

解析：原式=cosnπ++α+cosnπ--α

（1）當n為偶數即n=2k，（k∈Z）時：

原式=cos2kπ++α+cos2kπ--α

=cos+α+cos+α=2cos+α

（2）當n為奇數即n=2k+1，（k∈Z）時：

原式=cos2kπ+π++α+cos2kπ+π--α

=-cos+α-cos+α=-2cos+α

cosπ+α+cosπ-α=（-1）2cos+α

三、轉化與化歸思想

把所研究的問題轉化為與之等價的問題，將陌生問題轉化為熟悉問題，從而于找出問題的解決方法.體現在三角函數中就是切割化弦、統一角、統一函數名稱、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問題.

例3.求函數y=tanx+cotx-secx-cscx，x∈-，0的值域.

解析：先切割化弦，統一函數名稱，

得y=+--=.

令t=sinx+cosx，則sinxcosx=，t=sinx+

因為x∈-，0，所以t∈（-1，1）

于是求原函數的值域就轉化為求函數y=-，t∈（-1，1）的值域，解得y∈（-∞，-1）.

因此，原函數的值域為（-∞，-1）.

四、整體的思想

體現在三角函數中主要是利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對、整體構造等進行化簡求值、研究函數性質等.

例4.已知為三角形的一個內角，且滿足sinx+cosx=，求sinx-cosx的值.

解析：由條件和問題聯想到公式（sinx±cosx）=1±sinxcosx，可實施整體代換求值.

由sinx+cosx=兩邊同時平方，得sinx+2sinxcosx+cosx=，

即2sinxcosx=-.

因為（sinx-cosx）=1-2sinxcosx=，

又因為x為三角形的一個內角，sinx+cosx=＞0，2sinxcosx=-＜0，

所以sinx＞0，cosx＜0，則sinx-cosx＞0.

所以sinx-cosx=.

五、函數與方程思想

三角函數本身就一種特殊的函數，解決三角函數問題自然離不開函數與方程的思想.體現在某些三角函數問題可用函數的思想求解參數的值（范圍）問題；有些三角函數問題可以直接轉化為一元二次方程求解，還有一些三角問題，依據題設條件和求角結構，適當選取三角公式聯立組成方程組，以達到消元求值的目的，這是方程的思想在三角求值、證明等問題中的最直接體現.